一、能被*整除:
(1) 1与0的特性:
1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a;0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0。
(2) 能被2整除:
若一个整数的末位能被2整除,即这个整数的末位是0、2、4、6、8,则这个数能被2整除。
(3) 能被3整除:
若一个整数的各位数字和能被3整除,则这个数能被3整除。
(4) 能被4整除:
若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。
(5) 能被5整除:
若一个整数的末位是0或5,则这个数能能被5整除。
(6) 能被6整除:
若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除。
(7) 能被7整除:
(割尾法):若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13-3×2=7,所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613-9×2=595 , 59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。
(8) 能被8整除:
若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。
(9) 能被9整除:
若一个整数的数字和能被9整除,则这个数能被9整除。
(10) 能被10整除:
若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。
(11) 能被11整除:
方法一(奇偶位差法):若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。
方法二(割减法):若从一个整数里减去11的10倍、20倍、30倍……,到余下一个100以内的余数为止,如果这个余数能被11整除,则,这个数能被11整除。

(12) 能被12整除:
若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。
(13) 能被13整除:
若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
(14) 能被17整除:
若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
(15) 能被17整除:
方法一:若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
方法二:若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。
(16) 能被19整除:
若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。
(17) 能被23(或29)整除:
若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23(或29)整除。
(18) 能被25整除:
若一个整数的末尾两位数是25的倍数(00、25、50、75),则这个数能被25整除。
(17) 能被43整除:
方法一:若一个整数去掉末两位数字后扩大14倍与末两位数字的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被43整除,则该数就能被43整除,否则不能(如果在重复计算的过程中有重复数出现,则可以判断这个数不能被43整除)。
方法二:一个整数的个位数字扩大13倍与去掉个位数字后的数的和(得到和后可重复进行),若最后结果能被43整除,则该数就能被43整除,否则就不能(如果在重复计算的过程中有重复数出现,则可以判断这个数不能被43整除)。
(20) 能被7、11、13整除:
若一个整数数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差能被7、11、13整除,则这个数能被7、11、13整除。

二、整除的性质:
(1)若a|b,且b|c,则a|c。
(2)若a|b且a|c,等价于对于任意的整数x、y,有a|(b*x+c*y)。
(3)设m≠0,则a|b等价于(m*a)|(m*b)。
(4)若a|b,且b|a,则a=±b。
(5)若a|b且b≠0,则|a|≤|b|。
(6)设整数x、y满足下式:a*x+b*y=1,且a|n,b|n,那么(a*b)|n。

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